В5: решение уравнений

егэ по математике 2012

Задача В5

Решение уравнений

продолжаем готовиться… сразу о главном:

Бывают ПЯТЬ типов уравнений в задаче В5:

Предупреждение: Урок получится объёмным!

Поэтому я разбила на 5 частей. Между ними — вкусная пауза!

Способ подготовки:

- читаешь (вникаешь) одну часть,

- решаешь как можно больше задач на тему только что разобранной части — это САМОЕ главное!

- всё, что не можешь решить или не понимаешь вообще — пишешь в комментариях!

Часть 1: Показательное уравнение

Показательное уравнение — это такое уравнение, где неизвестный х находится «на верхушке», высоко-высоко… т.е. в степени!

Чтобы его решить, надо достать х сверху и приземлить его на место.

Алгоритм приземления:

1. Одинаковое основание — т.е. привести обе части уравнения к одному основанию;

2. Приравниваем «верхушки» — т.е. приравниваем степени, а про основание можно вообще забыть;

3. Решаем простое уравнение — находим х;

4. Проверка (Самый Главный пункт) — т.е. подставляем значение х в самое первое уравнение.

Чтобы легко пользоваться таким простым алгоритмом приземления — необходимо опереться на фундамент знаний.

В задаче В11, например, фундаментом является знание площадей основных плоских фигур + шар.

Здесь:

Фундамент = Степени чисел + Формулы со степенями!

О чём я говорю… позволь объяснить:

Отступление №1: Степени чисел

а) целая положительная степень

б) целая отрицательная степень


в) дробная положительная степень

P.S. для тех, кто не может запомнить, куда переходят n и m, объясняю так:


числитель остаЁтся в степени числа, а знаменатель убегает:

г) дробная отрицательная степень (случай б и в вместе)

если к примеру:

применить пункты б) и в) последовательно, то получим следующее:

Итак, все виды степеней рассмотрели, ЗАПОМНИЛИ.

Отступление №2: Формулы

Напомню основные формулы со степенями (свойства степени), которые надо знать на зубок (хотя бы на время сдачи ЕГЭ… :) ):

a1 = а,

a0 = 1 (a ≠ 0),

a-n = 1/an

aman = am+n;

am/an = am-n;

(ab)n = anbn;

(am)n = amn;

(a/b)n = an/bn.

Вот теперь мы полностью вооружились знаниями и можно приступать к решению показательных уравнений!

Заходим СЮДА -> выбираем любое показательное уравнение и решаем. Вписываем ответ справа от задания — проверяем правильность!

Если вдруг возникли вопросы — пишем в комментариях.

Вкусная пауза №1: Лучший вариант — прогуляться до магазина и купить себе вкусненького. Голову проветрили, теперь надо закрепить знания горячим чаем (я люблю горячий шоколад или какао… :)). Ставим чайник, накрываем на стол, зовём домочадцев. Все уселись — теперь хвастаемся успехами в подготовке к ЕГЭ. Родители любят, когда их дети стремятся к лучшему… в нашем случае — получить бОльшее количество баллов! Приятного чаепития! :)

А я продолжаю работать. Объяснять следующую часть…


Часть 2: Уравнения с корнем

правильнее: уравнения, содержащие корень… ну кому что нравится.

Чтобы решить такой тип — надо «убить» корень!

Основное правило, которое убивает корень, такое:

а также:

ИТОГО:

ЗАПОМНИ!

Чаще всего встречается 1-ый вариант: корень числа в квадрате = самому числу…

А если произвести обратное действие — извлечь корень из квадрата, то правильно записать так:

Например,

(это свойство понадобится в 5-ой части, там подробнее и поговорим)

Кстати, просто корень означает, что над корнем стоит двоечка и если применить пункт в) из отступления№1 (для показательных уравнений) в обратном направлении, то получим следующее:

и если возвести в квадрат и применить предпоследнюю формулу из отступления№2, то как раз получим правило, которое «убивает» корень — убедитесь сами, проделайте самостоятельно. Если вдруг не получается (хотя я сомневаюсь в этом), то спрашивайте в комментариях.

теперь сам Алгоритм:

1. Возвести в n-ую степень обе части уравнения. Чаще в квадрат, если просто корень;

2. «Убить» корни;

3. Решить простое уравнение;

4. Проверить — подставить ответ в самое первое уравнение с корнем.

Если при подстановке получится неверное равенство, например так:

, то этот корень откидываем!

Заметьте, я не стала вводить пункт ОДЗ (область допустимых значений). Но кто хорошо умеет им пользоваться — конечно пользуйтесь. А можно и не пользоваться, просто делать проверку!  Ведь ПРОВЕРКА — обязательный пункт во всех задачах ЕГЭ. Про него сложно забыть)))

Снова идём СЮДА и нарешиваем уравнения с корнем. Все вопросы пишем в комментариях! :)

Вкусная пауза №2: предлагаю покататься на коньках или поработать на улице (с дровами, коровами и т.д.) — отличный способ взбодриться и набраться сил! :)


__________________

Часть 3: Уравнения с логарифмом

Сначала вопрос: Что такое Логарифм и зачем его придумали?

Ответ: это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент, т.е. функция от двух переменных… уф… сама кое-как воспроизвела…

Я объясняю так:

Логарифм — это обыкновенное число в зашифрованном виде!

Кодировка этого числа (пусть будет с) имеет вид  logab

Чтобы  его расшифровать, надо применить крутилку:

и одновременно произношу: а в степени с равно b.
Получаем:

aс=b

Всё, расшифровали. Логарифм исчез :). Перед нами вид показательного уравнения, которое мы научились решать в 1-ой части.

А зачем придумали Логарифм?

Объясняю:

log28 = х - легко найти: сделали крутилку и нашли х=3;

log44 = х — тоже легко, х=1;

log35 = х — слабо найти? Мне слабо… Вот такие числа и зашифровали через логарифм.

Я понятно выражаюсь? Если нет — жду вопросов в конце урока, в комментариях.

Крутилка — дело интересное и нужное! Но бывают уравнения, где надо сначала упростить уравнение, а потом применить крутилку. Для упрощения уравнений, существуют формулы. Назовём их опять фундаментом (планирую посвятить итоговую статью — только фундаменты ЕГЭ):

ФОРМУЛЫ И СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ

1°    alogabb — Основное логарифмическое тождество;

2°    loga1 = 0;

3°    logaa = 1;

4°    loga(bc) = logab + logac;

Пример: log214=log2(27)=log22+log27=1+log27

5°    loga(b/c) = logab — logac;

6°    loga(1/c) = loga1 — logac = — logac;

7°    loga(bc) = c logab;

Например: log249=log272=2log27

8°    log(ac)b = (1/c) logab;

9°    logab = (logcb)/(logca) — Формула перехода к новому основанию;

10°    logab = 1/logba;

Применять вышеперечисленные формулы следует туда и обратно, слева направо и справа налево!

И опять идём СЮДА и нарешиваем уравнения, но уже выбираем с логарифмом. Все вопросы пишем в комментариях! :)

Вкусная пауза №3: разрешается немного полазить на других сайтах (отвлечься) и бегом на улицу (развеяться)! Позвонить друзьям, поболтать, рассказать родителям об успехе в подготовке


________________

Часть 4: Тригонометрия

Чтобы решать уравнения с sin, cos, tg и ctg — надо понимать смысл этих функций и их основные значения.

Как запомнить основные значения через единичную окружность? Кстати, уметь пользоваться ею также удобно и полезно, как считать в столбик! Поэтому стоит уделить время на неё:

Приготовьтесь слушать (читать) сказку, после которой вы легко сможете восстановить в память значения этих точек:

в любой системе координат есть много-много точек,

каждая точка имеет свои координаты в этой системе: х и y,

нарисовали единичную окружность (т.е. с радиусом, равным 1) с центром в начале координат,

каждая точка окружности тоже имеет координаты,

спрашивается: как запомнить их координаты? хотя бы некоторые…

Надо ЗАпомнить:

1) ось Х — это COS,

2) ось Y — это SIN,

3) ЗАпоминаем основные значения точек окружности: 30, 45, 60 градусов, или  (пока рассмотрим 1-ую четверть),

4) ЗАпоминаем значения на оси Х: ,

5) ЗАпоминаем значения на оси Y: ,

6) Восстанавливаем соответствие значений точек окружности с их координатами так:

просят найти значение

ага… находится посередине двух других точек (мысленно себе рисуем точку на окружности)..

cos — значит смотрим ось Х… ага…

значит, берём значение тоже посередине!

Аналогично: если возьмём точку — она самая первая на окружности (от точки (1;0) налево против часовой стрелки по окружности), значит её значение Х (cos) самая большая из трёх значений . А значение y (sin) — самое первое из … (я мысленно провожу перпендикуляры из точки к осям х и y).

P.S.: стараюсь объяснить как можно подробнее — это сложно (признаюсь), потому что вас не вижу, не слышу и не могу спросить «всё ли понятно?»… — эта проблема больше не проблема! :)

Почему?

Потому что открываю возможность записаться на бесплатные консультации через интернет (вебинарами называются) здесь!

Как это проходит?

Достаточно иметь выход в интернет. В назначенное время все собираемся в одном месте. Это место узнает каждый (кто запишется) в письме на электронной почте. Вы будете меня слышать, видеть то, что я пишу, рисую и показываю. А также сможете написать любой вопрос в чате, который буду объяснять. Если есть микрофон, то сможете задать вопрос говоря. Это похоже на класс в школе, только вместо парты ваш письменный стол, вместо стула — ваше любимое кресло, а доска — экран монитора… :)

Когда это будет?

С апреля будут известны даты и время проведения. До этого времени — записываемся здесь!

И тогда я смогу вам легко и просто объяснить не только про единичный круг, но и любую другую задачу ЕГЭ.

Вернёмся к нашим уравнениям с sin и cos, tg и ctg…

Рассмотрим решение равнения такого типа:

В ответ записать наибольший отрицательный корень.

Решение:
1. cos — это значения Х. Значит ищем значение 1/2 на оси Х и проводим вертикальную прямую:

Из рисунка видно, что уравнение  имеет две серии решений:
.
Для каждого из вариантов решим уравнение относительно x и найдем наибольший отрицательный корень.
1)


Наибольший отрицательный корень, x = – 1, получится при k=0.
(При k>0 x будет получаться положительным, при k<0 x будет меньше –1)

2)


Наибольший отрицательный корень, x = – 2, получится опять при k=0.

x = – 1 — наибольший отрицательный корень серии решений 1).
x = – 2 — наибольший отрицательный корень серии решений 2).

Теперь, чтобы получить наибольший отрицательный корень уравнения целиком, между x = – 1 и x = – 2 выберем больший.

Ответ: -1

Этот пример взят ЗДЕСЬ. И вам приказываю рекомендую «набить руку» на задачах оттуда же!

Возникнут вопросы — как всегда пиши в комментариях! :)

_____________

Часть 5: Остаток (в основном дробные)

В эту часть я отнесла все остальные уравнения. В первую очередь — это дробные. Которые имеют вид:

переменная х может быть в любом числителе и в любом знаменателе.

Чтобы легко найти решение — надо избавиться от дробей!

Алгоритм решения:

1. Избавиться от дробей по правилу: диагональ равна диагонали.

т.е. умножение а и d равно умножению c и b, получим:

2. Решаем полученное уравнение. На этом этапе часто получается квадратное уравнение, или совсем простое, где все переменные с x надо перенести в одну часть, а остальное в другую. И найти х.

3. ПРОВЕРКА - самый важный пункт! если при подстановке одного ответа, получим ерунду (например, деление на ноль или корень квадратный равен отрицательному числу), то этот корень выкидываем.

Обратите внимание: я опять упустила ОДЗ. Если вы с ним дружите — общайтесь дальше и применяйте ОДЗ. А если уж совсем не любите его, то достаточно делать проверку всех полученных ответов. Надо подставить каждое значение х в самое первое, дробное уравнение!

Снова идём в Открытый Банк Задач и решать, теперь уже, любое уравнение!

Обязательно пишите комментарии, если будут трудности! Всё ответим и поможем! :)

До встречи!

Чтобы не пропустить дальнейшие уроки - введи свой email здесь. Тогда все уроки будут поступать прямо тебе на почту! :)


________________________________________

Для более успешной подготовки, предлагаю следующее:

  1. Применять советы, которые помогут избежать элементарных ошибок!
  2. ОБЯЗАТЕЛЬНО потренируйся ЗДЕСЬ!!! - Это очень полезный и удобный сайт! Здесь можно:

ввести свой ответ и свериться с правильным!

разобрать решение любого типа задачи!

  1. Написать свою задачу прямо в комментариях! Если не можешь разобрать какую-то задачу — пиши нам. Почему нам? Потому что на твою задачу могу ответить не только я, но и остальные читатели. ВНИМАНИЕ: задачу пиши соответственно статье! т.е. если тебе надо решить задачу части В10, то пиши её в этой статье, внизу, в комментариях! Каждая, добавленная вами задача, будет отвечена там же в комментариях (поэтому ставь галочку на получение новых комментариев).
  2. «Набивать руку» на задачах из Открытого Банка Задач или ЗДЕСЬ!!! — тут уже с решениями! Если возникнут затруднения, повторяю: пиши в комментариях!
  3. ОБЯЗАТЕЛЬНО: подпишись на новости ЕГЭ по математике прямо сейчас:

Ваше имя: *
Ваш e-mail: *

Если у тебя вдруг нет почты, то СРОЧНО выполни ЭТО Задание!

А если есть, то смело вводи своё имя и e-mail чуть выше, кликни на кнопку «Подписаться сейчас» и…  ВНИМАНИЕ: обязательно зайди в свою почту, открой письмо от Smartresponder, и кликни по указанной в письме ссылке (самая первая). Если не получается, то просмотри урок по созданию почты. В конце этого урока,  поэтапно описана процедура подписки.

:) До следующих уроков по ЕГЭ :)

Поделись с друзьями через круглые кнопки ;)

Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Одноклассники
Опубликовать в Мой Мир

Подпишись на бесплатные уроки

Прочитавшие эту статью, интересовались:
ЗадавайТЕ вопросы выше через vk.com, либо ниже в комментариях. А можно оставить просто ОТЗЫВ об уроке.. может чё-нить не хватает или наоборот всё зашибись...

9 комментариев к записи “В5: решение уравнений”

  1. Яна:

    В тригонометрии.(Для каждого из вариантов решим уравнение относительно x и найдем наибольший отрицательный корень) От куда взялось П(2X+3)/ ?

    • Яна, ты правильно заметила!
      Уравнение выложила одно, а решила другое подобное уравнение.
      Я исправила само уравнение в задаче, решение которого описано ниже — это быстрее)))
      Молодец! :)

  2. Надежда:

    0,2 в степени (х+2) =корень квадратный из (35+5х). решить уравнение. Помогите.

    • возводи обе части уравнения в квадрат!
      справа корень убьётся.
      дальше графически:
      1. строим график левой части уравнения
      2. строим график правой части уравнения — в одной системе координат!

      и смотрим точку пересечения графиков — это и будет решение!

  3. Саша:

    sin π(x−7)/4=−2/√2 — решала по примеру,но результат не сходится! помогите пожалуйста…

  4. Саша:

    Эх, с этой таблицей, я запуталась… выбрала 5π/4 и 7π/4

    • Саша, лучше записать в одну строчку:
      π(x−7)/4=(-1)^k (-π/4) + π*k

      Затем, почленно умножаешь на 4:
      π(x−7)=(-1)^k (-π) + 4*π*k

      Затем почленно делим на π:
      (x−7)=(-1)^k (-1) + 4*k
      x−7=(-1)^(k+1) + 4*k, т.е. -1 в степени (k+1)

      И прибавляем 7:
      x=(-1)^(k+1)+7+ 4*k

      ВСЁ. Это ответ!
      Если надо выбрать корни, то вместо k подставляем значения 0,1,2,3,… и -1,-2,-3 и т.д.

Хотите что-то сказать мне?
Говорите, я слушаю...